命題12
任意個の量が比例しているならば、前項の1つが後項の1つに対すると同じように、前項の和が後項の和に対する。
任意個の量A、B、C、D、E、Fが比例しているとする。つまりAがBに対し同じようにCがDに対し、そして同じようにEがFに対する。
AがBに対する同じようにA、C、Eの和がB、D、Fの和に対することをいう。
A、C、Eの同倍数G、H、Kを取り、他の、任意の、B、D、Fの同倍数L、M、Ｎを取る。
AがBに対し同じようにCがDに対し、そして同じようにEがFに対し、A、C、Eの同倍数G、H、Kを取り、他の、任意の、B、D、Fの同倍数L、M、Ｎを取るから、それゆえに、GがLより大きいならばHもまたMより大きく、KもまたNより大きい。等しいならば等しい。小さいならば小さい。だから、加えて、GがLより大きいならばG、H、Kの和はL、M、Ｎの和より大きい。等しいならば等しい。小さいならば小さい。definitionⅤ．５
さて任意個の量がそれぞれ同じ個数の他の量の同倍数であるならば、その和は和の倍数であるから、GとG、H、Kの和はAとA、C、Eの和の同倍数である。propositionⅤ．１
同じ理由でLとL、M、Ｎの和はまたBとB、D、Fの和の同倍数であり、それゆえにAがBに対する同じようにA、C、Eの和がB、D、Fの和に対する。definitionⅤ．５
それゆえに、任意個の量が比例しているならば、前項の1つが後項の1つに対すると同じように、前項の和が後項の和に対する。
証明終了